derivada de (3x-2)^3(8x^2+7)^3 — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3})

Para

u1

{(3 x - 2)}^{3}

v2

{(8 x^{2} + 7)}^{3}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

3 x - 2

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 2) \cdot {(3 x - 2)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 2) \cdot {(3 x - 2)}^{2}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x - 2)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + 0) \cdot {(3 x - 2)}^{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3 \cdot 3 \cdot {(3 x - 2)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 3

9

9 \cdot {(3 x - 2)}^{2}

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} ({(8 x^{2} + 7)}^{3})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

8 x^{2} + 7

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(8 x^{2} + 7)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (8 x^{2} + 7) \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (8 x^{2} + 7) \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (8 x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (8 x^{2}) + 0) \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (8 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (8 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (8 x^{2})

8 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 8 \cdot 2 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 8

24

24 \cdot 2 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

ⅰ

24 \cdot 2

(20 + 4) \cdot 2

20 \cdot 2 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

48 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

4) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(3 x - 2)}^{3} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3})

9 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3} + {(3 x - 2)}^{3} \cdot 48 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

9 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3} + {(3 x - 2)}^{3} \cdot 48 x \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2}

48 x \cdot {(3 x - 2)}^{3} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2} + 9 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{3}

Podemos fatorizar a expressão como:

{(3 x - 2)}^{2} \cdot {((8 x^{2} + 7))}^{2} \cdot (48 x \cdot (3 x - 2) + 9 \cdot (8 x^{2} + 7))

Vamos fatorizar em

ℝ

(48 x \cdot (3 x - 2) + 9 \cdot (8 x^{2} + 7))

Colocamos em evidência

3

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

48 x \cdot (3 x - 2) + 9 \cdot (8 x^{2} + 7)

3 \cdot (16 x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (8 x^{2} + 7))

Fator encontrado:

16 x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (8 x^{2} + 7)

▶Derivada:

3 \cdot {(3 x - 2)}^{2} \cdot {(8 x^{2} + 7)}^{2} \cdot (16 x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (8 x^{2} + 7))