derivada de (4-2x-x^2/(x^2-6)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 - 2 x - \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (4 - 2 x - \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

Para

p1

x^{2}

q2

x^{2} - 6

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 6)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{2 x \cdot (x^{2} - 6) - x^{2} \cdot 2 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x^{2} x

x^{3}

- \frac{2 x \cdot (x^{2} - 6) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{2 x \cdot (x^{2} - 6) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (x^{2} - 6) + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{- 2 x \cdot (x^{2} - 6) + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{- 2 x \cdot (x^{2} - 6) + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (x^{2} - 6) + x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (- (x^{2} - 6) + x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x^{2} - 6)

- x^{2} + 6

\frac{2 x \cdot (- x^{2} + 6 + x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- x^{2} + x^{2}

0

\frac{2 x \cdot (0 + 6)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 6

6

ⅰ

2 \cdot 6

12

\frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{x^{2} - 6})

\frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

- 2 + \frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{12 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}} - 2