derivada de (4-3x/(3x^2+x)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (4 + \frac{-3 x}{3 x^{2} + x})

2) Vamos fatorizar em

ℝ

3 x^{2} + x

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (3 x + 1)

ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{-3 x}{3 x^{2} + x}

- \frac{3}{3 x + 1}

\frac{d}{d x} (4 - \frac{3}{3 x + 1})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (4 - \frac{3}{3 x + 1})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

Para

p1

3

q2

3 x + 1

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

3) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (3)

ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d x} (3)

0

0

4) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 1)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

5) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{0 \cdot (3 x + 1) - 3 \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot (3 x + 1)

0

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 3

9

- \frac{0 - 9}{{(3 x + 1)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 9

-9

■Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-9}{{(3 x + 1)}^{2}})

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

6) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{3}{3 x + 1})

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{9}{{(3 x + 1)}^{2}}