derivada de (9x^2+9sqrt(x))/(8x)

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{9 x^{2} + 9 \sqrt{x}}{8 x})

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{9 x^{2} + 9 \sqrt{x}}{8 x}

\frac{9 \sqrt{x} \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \sqrt{x} \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x})

Simplificamos a fração

\frac{\sqrt{x}}{x}

pelo fator comum

\sqrt{x}

para obter a nova fração:

\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x^{1 - \frac{1}{2}}})

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 - \frac{1}{2}

\frac{2 - 1}{2}

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 x^{\frac{2 - 1}{2}}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 - 1

1

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 \sqrt{x}})

Para

p1

9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)

q2

8 \sqrt{x}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1))

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1))

9 \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} + 1)

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0

9 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

9 \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}

ⅰ

9 \cdot \frac{3}{2}

\frac{27}{2}

\frac{27}{2} \cdot \sqrt{x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{27}{2} \cdot \sqrt{x}

\frac{27 \sqrt{x}}{2}

\frac{27 \sqrt{x}}{2}

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (8 \sqrt{x})

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (8 \sqrt{x})

8 \cdot \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

8 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

8 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{8 \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{8}{2 \sqrt{x}}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{8}{2 \sqrt{x}}

\frac{4}{\sqrt{x}}

\frac{4}{\sqrt{x}}

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\frac{27 \sqrt{x}}{2} \cdot 8 \sqrt{x} - 9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{27 \sqrt{x}}{2} \cdot 8 \sqrt{x}

\frac{27 \cdot \sqrt{x} \cdot 8 \cdot \sqrt{x}}{2}

\frac{216 x}{2}

9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot \frac{4}{\sqrt{x}}

\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 4}{\sqrt{x}}

\frac{36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{\sqrt{x}}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{216 x}{2} - \frac{36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{\sqrt{x}}

\frac{216 x \cdot \sqrt{x} - 36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{216 x \cdot \sqrt{x} - 36 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1) \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \sqrt{x}

x^{1 + \frac{1}{2}}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

36 \cdot 2

(30 + 6) \cdot 2

30 \cdot 2 + 6 \cdot 2

60 + 12

72

\frac{\frac{216 x^{1 + \frac{1}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{\frac{216 x^{\frac{2 + 1}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 1

3

\frac{\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Dividir uma fração por

{(8 \sqrt{x})}^{2}

equivale a multiplicar o seu denominador por

{(8 \sqrt{x})}^{2}

\frac{\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x}}}{{(8 \sqrt{x})}^{2}}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x} \cdot {(8 \sqrt{x})}^{2}}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{2 \sqrt{x} \cdot {(8 \sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 72 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)

- (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)

■A potência de um produto é o produto das potências:

{(8 \sqrt{x})}^{2}

8^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{2}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)}{2 \sqrt{x} \cdot 8^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (72 x^{\frac{3}{2}} + 72)

- 72 x^{\frac{3}{2}} - 72

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{216 x^{\frac{3}{2}} - 72 x^{\frac{3}{2}} - 72}{2 \sqrt{x} \cdot 64 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

216 x^{\frac{3}{2}} - 72 x^{\frac{3}{2}}

144 x^{\frac{3}{2}}

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x} x^{\frac{2}{2}}

x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}

ⅰ

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + \frac{2}{2}

\frac{1 + 2}{2}

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{144 x^{\frac{3}{2}} - 72}{128 x^{\frac{3}{2}}}

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{9 \cdot (x^{\frac{3}{2}} + 1)}{8 \sqrt{x}})

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{9 \cdot (2 x^{\frac{3}{2}} - 1)}{16 x^{\frac{3}{2}}}