derivada de (((-2x-1)/(-4x+2))^5)

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(\frac{- 2 x - 1}{- 4 x + 2})}^{5})

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 2 x - 1

- (2 x + 1)

\frac{d}{d x} ({(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{5})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d x} (- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2}) \cdot {(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d x} (- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2}) \cdot {(- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

Para

p1

2 x + 1

q2

- 4 x + 2

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (2 x + 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (- 4 x + 2)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (- 4 x + 2)

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

-4

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

- \frac{2 \cdot (- 4 x + 2) - (2 x + 1) \cdot (-4)}{{(- 4 x + 2)}^{2}}

ⓘ Extraímos os sinais de menos: um número par de sinais de menos anula-se e um número ímpar deixa um sinal de menos:

- (2 x + 1) \cdot (-4)

4 \cdot (2 x + 1)

- \frac{2 \cdot (- 4 x + 2) + 4 \cdot (2 x + 1)}{{(- 4 x + 2)}^{2}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{2 \cdot (- 4 x + 2) + 4 \cdot (2 x + 1)}{{(- 4 x + 2)}^{2}}

- \frac{(- 4 x + 2) + 2 \cdot (2 x + 1)}{2 \cdot {(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{(- 4 x + 2) + 2 \cdot (2 x + 1)}{2 \cdot {(- 2 x + 1)}^{2}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- (\frac{- 4 x + 2 + 2 \cdot (2 x + 1)}{2 \cdot {(- 2 x + 1)}^{2}})

- (\frac{- 2 x + 1 + (2 x + 1)}{{(- 2 x + 1)}^{2}})

- (\frac{- 2 x + 1 + (2 x + 1)}{{(- 2 x + 1)}^{2}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 1

2

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x + 2 x

0

- \frac{0 + 2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 2

2

- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (- \frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})

- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

5 \cdot (- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}) \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

5 \cdot (- \frac{2}{{(- 2 x + 1)}^{2}}) \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}

- \frac{5 \cdot 2 \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{10 \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{10 \cdot {(\frac{2 x + 1}{- 4 x + 2})}^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{2}}

- \frac{10 \cdot {(\frac{2 x + 1}{2 - 4 x})}^{4}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{2 x + 1}{2 - 4 x})}^{4}

\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

- \frac{10 \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

10 \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

\frac{10 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{10 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{{(2 - 4 x)}^{4}}

\frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4}}

- \frac{\frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4}}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ Dividir uma fração por

{(1 - 2 x)}^{2}

equivale a multiplicar o seu denominador por

{(1 - 2 x)}^{2}

- \frac{\frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4}}}{{(1 - 2 x)}^{2}}

- \frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4} \cdot {(1 - 2 x)}^{2}}

- \frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{4} \cdot {(1 - 2 x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

{(1 - 2 x)}^{4} \cdot {(1 - 2 x)}^{2}

{(1 - 2 x)}^{6}

▶

- \frac{5 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{8 \cdot {(1 - 2 x)}^{6}}