derivada de ((x+4)/(x-4))^5 — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(\frac{x + 4}{x - 4})}^{5})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

\frac{x + 4}{x - 4}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(\frac{x + 4}{x - 4})}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{x - 4}) \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{x - 4}) \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}

Para

p1

x + 4

q2

x - 4

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x + 4)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 4)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x - 4)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 4)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{1 \cdot (x - 4) - (x + 4) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}

\frac{x - 4 - (x + 4)}{{(x - 4)}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x + 4)

- x - 4

\frac{x - 4 - x - 4}{{(x - 4)}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 4 - 4

-8

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x - x

0

\frac{0 - 8}{{(x - 4)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 8

-8

- \frac{8}{{(x - 4)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{x - 4})

- \frac{8}{{(x - 4)}^{2}}

5 \cdot (- \frac{8}{{(x - 4)}^{2}}) \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

5 \cdot (- \frac{8}{{(x - 4)}^{2}}) \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}

- \frac{5 \cdot 8 \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}}{{(x - 4)}^{2}}

- \frac{40 \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}}{{(x - 4)}^{2}}

- \frac{40 \cdot {(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}}{{(x - 4)}^{2}}

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{x + 4}{x - 4})}^{4}

\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}

- \frac{40 \cdot \frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}}{{(x - 4)}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

40 \cdot \frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}

\frac{40 \cdot {(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}

- \frac{\frac{40 \cdot {(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}}{{(x - 4)}^{2}}

ⓘ Dividir uma fração por

{(x - 4)}^{2}

equivale a multiplicar o seu denominador por

{(x - 4)}^{2}

- \frac{\frac{40 \cdot {(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}}{{(x - 4)}^{2}}

- \frac{40 \cdot {(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4} \cdot {(x - 4)}^{2}}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

{(x - 4)}^{4} \cdot {(x - 4)}^{2}

{(x - 4)}^{6}

▶

- \frac{40 \cdot {(x + 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{6}}