derivada de ((x^2+1^2)/((x^4+1)^4))

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}})

Para

p1

x^{2} + 1

q2

{(x^{4} + 1)}^{4}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} ({(x^{4} + 1)}^{4})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{4} + 1

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{4} + 1)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{4} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{4}) + 0

4 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + 0) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{4}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{4})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

4 \cdot 4 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

ⅰ

4 \cdot 4

16

16 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{4} - (x^{2} + 1) \cdot 16 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}}{{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{4} - (x^{2} + 1) \cdot 16 x^{3} \cdot {(x^{4} + 1)}^{3}}{{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}}

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{({(x^{4} + 1)}^{4})}^{2}

{(x^{4} + 1)}^{4 \cdot 2}

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4 \cdot 2}}

ⅰ

4 \cdot 2

8

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot ({(x^{4} + 1)}^{4} - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1) \cdot {(x^{4} + 1)}^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{3} \cdot ((x^{4} + 1) - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{4} + 1)}^{3} \cdot ((x^{4} + 1) - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

Simplificamos a fração

\frac{{(x^{4} + 1)}^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{8}}

pelo fator comum

{(x^{4} + 1)}^{3}

para obter a nova fração:

\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 \cdot x \cdot (x^{4} + 1 - 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- 8 x^{2} \cdot (x^{2} + 1)

- (8 x^{4} + 8 x^{2})

2 x \cdot (x^{4} + 1 - (8 x^{4} + 8 x^{2}))

2 x^{5} + 2 x + 2 x \cdot (- (8 x^{4} + 8 x^{2}))

\frac{2 x^{5} + 2 x + 2 x \cdot (- (8 x^{4} + 8 x^{2}))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- (8 x^{4} + 8 x^{2}))

-2 \cdot (8 x^{4} + 8 x^{2})

\frac{2 x^{5} + 2 x - 2 x \cdot (8 x^{4} + 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x^{5} + 2 x - 2 x \cdot (8 x^{4} + 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (x^{4} + 1 - (8 x^{4} + 8 x^{2}))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (x^{4} + 1 - (8 x^{4} + 8 x^{2}))}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (8 x^{4} + 8 x^{2})

- 8 x^{4} - 8 x^{2}

\frac{2 x \cdot (x^{4} + 1 - 8 x^{4} - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x^{4} - 8 x^{4}

-7 x^{4}

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} + 1 - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{4}})

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} + 1 - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} + 1 - 8 x^{2})}{{(x^{4} + 1)}^{5}}

▶Derivada:

\frac{2 x \cdot (- 7 x^{4} - 8 x^{2} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{5}}