derivada de ((x^2-5)^3)/(x^2+2) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{{(x^{2} - 5)}^{3}}{x^{2} + 2})

Para

p1

{(x^{2} - 5)}^{3}

q2

x^{2} + 2

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 5)}^{3})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} - 5

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 5)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 5)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2}

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} \cdot (x^{2} + 2) - {(x^{2} - 5)}^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{6 x \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} \cdot (x^{2} + 2) - {(x^{2} - 5)}^{3} \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) \cdot {(x^{2} - 5)}^{2} - {(x^{2} - 5)}^{3})}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- (x^{2} - 5))}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- (x^{2} - 5))}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - (x^{2} - 5))}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x^{2} - 5)

- x^{2} + 5

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (3 \cdot (x^{2} + 2) - x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (x^{2} + 2)

3 x^{2} + 6

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (3 x^{2} + 6 - x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

6 + 5

11

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

3 x^{2} - x^{2}

2 x^{2}

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{{(x^{2} - 5)}^{3}}{x^{2} + 2})

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

\frac{2 x \cdot {(- x^{2} + 5)}^{2} \cdot (2 x^{2} + 11)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{2 x \cdot (2 x^{2} + 11) \cdot {(5 - x^{2})}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}}