derivada de (cos(7x)^x) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({\cos (7 x)}^{x})

Para derivar nos intervalos onde

\cos (7 x) > 0

, escrevemos

{\cos (7 x)}^{x}

e^{x \cdot \ln (\cos (7 x))}

ⅰ

\frac{d}{d x} ({\cos (7 x)}^{x})

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\cos (7 x))) \cdot e^{x \cdot \ln (\cos (7 x))}

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\cos (7 x))) \cdot e^{x \cdot \ln (\cos (7 x))}

Para

u1

x

v2

\ln (\cos (7 x))

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\ln (\cos (7 x)))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

\cos (7 x)

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (\cos (7 x)))

\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot \frac{1}{\cos (7 x)}

\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot \frac{1}{\cos (7 x)}

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

com f =

7 x

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot \frac{1}{\cos (7 x)}

\frac{\frac{d}{d x} (\cos (7 x)) \cdot 1}{\cos (7 x)}

\frac{\frac{d}{d x} (\cos (7 x))}{\cos (7 x)}

■A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (7 x))

- \frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)

- \frac{\frac{d}{d x} (7 x) \cdot \sin (7 x)}{\cos (7 x)}

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 x)

7

- \frac{7 \cdot \sin (7 x)}{\cos (7 x)}

ⓘ Quando

\cos (x) \neq 0

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)

- \frac{7 \cdot \sin (7 x)}{\cos (7 x)}

- 7 \cdot \tan (7 x)

- 7 \cdot \tan (7 x)

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot \ln (\cos (7 x)) + x \cdot (- 7 \cdot \tan (7 x))

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x \cdot (-7) \cdot \tan (7 x)

- 7 x \cdot \tan (7 x)

\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\cos (7 x)))

\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)

(\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

\ln (\cos (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x} - 7 x \cdot \tan (7 x) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

\ln (\cos (7 x)) \cdot {\cos (7 x)}^{x} - 7 x \cdot \tan (7 x) \cdot {\cos (7 x)}^{x}

{\cos (7 x)}^{x} \cdot \ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot {\cos (7 x)}^{x} \cdot \tan (7 x)

{\cos (7 x)}^{x} \cdot (\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x))

▶Derivada:

{\cos (7 x)}^{x} \cdot (\ln (\cos (7 x)) - 7 x \cdot \tan (7 x))