derivada de (sin(x)/(x^2)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{x^{2}})

Para

p1

\sin (x)

q2

x^{2}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (\sin (x))

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

\cos (x)

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\cos (x) \cdot x^{2} - \sin (x) \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{\cos (x) \cdot x^{2} - \sin (x) \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

\frac{x \cdot (x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x))}{{(x^{2})}^{2}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(x^{2})}^{2}

x^{2 \cdot 2}

\frac{x \cdot (x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x))}{x^{2 \cdot 2}}

ⅰ

2 \cdot 2

4

\frac{x \cdot (x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x))}{x^{4}}

Simplificamos a fração

\frac{x}{x^{4}}

pelo fator comum

x

para obter a nova fração:

\frac{1}{x^{3}}

\frac{x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)}{x^{3}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{x^{2}})

\frac{x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)}{x^{3}}

▶Derivada:

\frac{x \cdot \cos (x) - 2 \cdot \sin (x)}{x^{3}}