derivada de (x^2)/((x^2-1)^4) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}})

Para

p1

x^{2}

q2

{(x^{2} - 1)}^{4}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{4})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} - 1

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

4 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

4 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

ⅰ

4 \cdot 2

8

8 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - x^{2} \cdot 8 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{({(x^{2} - 1)}^{4})}^{2}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x^{2} x

x^{3}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{({(x^{2} - 1)}^{4})}^{2}

{(x^{2} - 1)}^{4 \cdot 2}

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - 8 x^{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{4 \cdot 2}}

ⅰ

4 \cdot 2

8

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - 8 x^{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{4} - 8 x^{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot ({(x^{2} - 1)}^{4} - 4 x^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot ({(x^{2} - 1)}^{4} - 4 x^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot ({(x^{2} - 1)}^{4} - 4 x^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot ((x^{2} - 1) - 4 x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

\frac{2 x \cdot {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot ((x^{2} - 1) - 4 x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

Simplificamos a fração

\frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{8}}

pelo fator comum

{(x^{2} - 1)}^{3}

para obter a nova fração:

\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

\frac{2 \cdot x \cdot (x^{2} - 1 - 4 x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x^{2} - 4 x^{2}

-3 x^{2}

\frac{2 x \cdot (- 3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 3 x^{2} - 1

- (3 x^{2} + 1)

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- (3 x^{2} + 1))

-2 \cdot (3 x^{2} + 1)

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 x \cdot (3 x^{2} + 1)

6 x^{3} + 2 x

- \frac{6 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

- \frac{6 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

\frac{2 x \cdot (- (3 x^{2} + 1))}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- (3 x^{2} + 1))

-2 \cdot (3 x^{2} + 1)

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}})

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}

▶Derivada:

- \frac{2 x \cdot (3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{5}}