derivada de (x^8-2x^4-10x)/(x^4)

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{8} - 2 x^{4} - 10 x}{x^{4}})

2) Vamos fatorizar em

ℝ

x^{8} - 2 x^{4} - 10 x

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

Simplificamos a fração

\frac{x}{x^{4}}

pelo fator comum

x

para obter a nova fração:

\frac{1}{x^{3}}

\frac{d}{d x} (\frac{x^{7} - 2 x^{3} - 10}{x^{3}})

Para

p1

x^{7} - 2 x^{3} - 10

q2

x^{3}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

3) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

\frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + 0

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{7})

7 x^{6}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x^{3})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

7 x^{6} - 2 \cdot 3 x^{2}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 3

6

7 x^{6} - 6 x^{2}

4) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{3})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2}

5) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(7 x^{6} - 6 x^{2}) \cdot x^{3} - (x^{7} - 2 x^{3} - 10) \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{(7 x^{6} - 6 x^{2}) \cdot x^{3} - (x^{7} - 2 x^{3} - 10) \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}

\frac{x^{2} \cdot (x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10))}{{(x^{3})}^{2}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(x^{3})}^{2}

x^{3 \cdot 2}

\frac{x^{2} \cdot (x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10))}{x^{3 \cdot 2}}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{x^{2} \cdot (x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10))}{x^{6}}

Simplificamos a fração

\frac{x^{2}}{x^{6}}

pelo fator comum

x^{2}

para obter a nova fração:

\frac{1}{x^{4}}

\frac{x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2}) - 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10)}{x^{4}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

x \cdot (7 x^{6} - 6 x^{2})

7 x^{7} - 6 x^{3}

- 3 \cdot (x^{7} - 2 x^{3} - 10)

- (3 x^{7} - 6 x^{3} - 30)

\frac{7 x^{7} - 6 x^{3} - (3 x^{7} - 6 x^{3} - 30)}{x^{4}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 x^{7} - 6 x^{3} - 30)

- 3 x^{7} + 6 x^{3} + 30

\frac{7 x^{7} - 6 x^{3} - 3 x^{7} + 6 x^{3} + 30}{x^{4}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

7 x^{7} - 3 x^{7}

4 x^{7}

- 6 x^{3} + 6 x^{3}

0

\frac{4 x^{7} + 0 + 30}{x^{4}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 30

30

\frac{4 x^{7} + 30}{x^{4}}

6) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{7} - 2 x^{3} - 10}{x^{3}})

\frac{4 x^{7} + 30}{x^{4}}

▶Derivada:

\frac{4 x^{7} + 30}{x^{4}}