⚠ arccot(sqrt(2x)) é interpretado como (pi/2-arctan(sqrt(2x))): para o ramo real de arccot com valores em ]0, π[, utilize pi/2-arctan(expression)

Vamos derivar: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\sqrt{2x}\right))$

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\sqrt{2x}\right))$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\arctan \left(\sqrt{2x}\right))$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\arctan \left(\sqrt{2x}\right))$

Aplicamos a fórmula de derivação $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan \left(f\right)\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f\right)·\frac{1}{f^2+1}$ com f = $\sqrt{2x}$

ⓘ A derivada de uma constante é nula: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = $0$■A derivada de $\arctan \left(x\right)$ é $\frac{1}{1+x^2}$: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\arctan \left(\sqrt{2x}\right))$ = $-\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{2x}\right)}{{\left(\sqrt{2x}\right)}^2+1}$

$0-\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{2x}\right)}{{\left(\sqrt{2x}\right)}^2+1}$

Aplicamos a fórmula de derivação $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{f}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f\right)·\frac{1}{2\sqrt{f}}$ com f = $2x$

ⓘ Somar 0 não altera o valor: $0-\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{2x}\right)}{{\left(\sqrt{2x}\right)}^2+1}$ = $-\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{2x}\right)}{{\left(\sqrt{2x}\right)}^2+1}$■A derivada de $\sqrt{x}$ é $\frac{1}{2\sqrt{x}}$: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{2x}\right)$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x\right)·\frac{1}{2·\sqrt{2x}}$■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes, ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$: ${\left(\sqrt{2x}\right)}^2$ = ${\left(2x\right)}^{\frac{1}{2}·2}$

$-\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x\right)·\frac{1}{2·\sqrt{2x}}}{{\left(2x\right)}^{\frac{1}{2}·2}+1}$

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x\right)·\frac{1}{2·\sqrt{2x}}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x\right)·1}{2·\sqrt{2x}}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x\right)}{2·\sqrt{2x}}$■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de $ku$ é $k·\mathrm{u\text{'}}$: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2x\right)$ = $2$■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador: $\frac{1}{2}·2$ = $\frac{1·2}{2}$ = $\frac{2}{2}$■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por $2$, o seu máximo divisor comum: $\frac{2}{2}$ = $1$

$-\frac{\frac{2}{2·\sqrt{2x}}}{{\left(2x\right)}^1+1}$

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo: $\frac{2}{2·\sqrt{2x}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2x}}$

$-\frac{\frac{1}{\sqrt{2x}}}{2x+1}$

ⓘ Dividir uma fração por $2x+1$ equivale a multiplicar o seu denominador por $2x+1$: $-\frac{\frac{1}{\sqrt{2x}}}{2x+1}$ = $-\frac{1}{\sqrt{2x}·(2x+1)}$

▶Derivada:   $-\frac{1}{\sqrt{2x}·(2x+1)}$