derivada de f(x)=(2x^2-x-1)/(2x+2)

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{2 x^{2} - x - 1}{2 x + 2}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x - 1}{2 x + 2})

Para

p1

2 x^{2} - x - 1

q2

2 x + 2

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (2 x^{2} - x - 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x^{2} - x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + 0

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- x) + 0

\frac{d}{d x} (- x)

■A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

2 \cdot 2 x - 1

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

4 x - 1

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(4 x - 1) \cdot (2 x + 2) - (2 x^{2} - x - 1) \cdot 2}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(4 x - 1) \cdot (2 x + 2)

4 \cdot x \cdot 2 \cdot x

+ 4 x \cdot 2

- 1 \cdot 2 x

- 1 \cdot 2

- (2 x^{2} - x - 1) \cdot 2

- (4 x^{2} - x \cdot 2 - 2)

\frac{4 \cdot x \cdot 2 \cdot x + 4 x \cdot 2 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 - (4 x^{2} - x \cdot 2 - 2)}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

1 \cdot 2 x

2 x

1 \cdot 2

2

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (4 x^{2} - x \cdot 2 - 2)

- 4 x^{2} + x \cdot 2 + 2

\frac{8 x^{2} + 8 x - 2 x - 2 - 4 x^{2} + x \cdot 2 + 2}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 2 + 2

0

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x

+ 0

- 4 x^{2}

+ x \cdot 2

0 - 4 x^{2}

8 x^{2} - 4 x^{2}

4 x^{2}

\frac{4 x^{2} + 8 x + 0}{{(2 x + 2)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

8 x + 0

8 x

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 x^{2} + 8 x}{{(2 x + 2)}^{2}}

\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x - 1}{2 x + 2})

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{x \cdot (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}