derivada de f(x)=(7x^2+7x+7)/(sqrt(x))

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{\sqrt{x}}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{\sqrt{x}})

Para

p1

7 x^{2} + 7 x + 7

q2

\sqrt{x}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 7 x + 7)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 7 x + 7)

\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7 x) + 0

\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7 x) + 0

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 x^{2})

7 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (7 x)

7

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (7 x) + 0

\frac{d}{d x} (7 x)

7 \cdot 2 x + 7

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

7 \cdot 2

14

14 x + 7

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} - (7 x^{2} + 7 x + 7) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{{(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

(7 x^{2} + 7 x + 7) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{(7 x^{2} + 7 x + 7) \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{2 \sqrt{x}}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} - \frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{2 \sqrt{x}}

\frac{(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (7 x^{2} + 7 x + 7)}{2 \sqrt{x}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{(14 x + 7) \cdot \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (7 x^{2} + 7 x + 7)}{2 \sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (7 x^{2} + 7 x + 7)

- 7 x^{2} - 7 x - 7

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

x

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x}}}{x^{1}}

\frac{\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x}}}{x}

ⓘ Dividir uma fração por

x

equivale a multiplicar o seu denominador por

x

\frac{\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x}}}{x}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x} \cdot x}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 \sqrt{x} \cdot x}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x} x

x^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{2 \cdot (14 x + 7) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (14 x + 7)

28 x + 14

\frac{(28 x + 14) \cdot x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(28 x + 14) \cdot x

28 x^{2} + 14 x

\frac{28 x^{2} + 14 x - 7 x^{2} - 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

28 x^{2} - 7 x^{2}

21 x^{2}

14 x - 7 x

7 x

\frac{21 x^{2} + 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{7 x^{2} + 7 x + 7}{\sqrt{x}})

\frac{21 x^{2} + 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{21 x^{2} + 7 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}