derivada de f(x)=((sqrt(x)-2))/((2x^2+3))

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3})

Para

p1

\sqrt{x} - 2

q2

2 x^{2} + 3

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} - 2)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} - 2)

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 \cdot 2 x

ⅰ

2 \cdot 2

4

4 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x^{2} + 3)

\frac{1 \cdot (2 x^{2} + 3)}{2 \sqrt{x}}

\frac{2 x^{2} + 3}{2 \sqrt{x}}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{2 x^{2} + 3}{2 \sqrt{x}} - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x

\frac{(2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{(2 x^{2} + 3) - (\sqrt{x} - 2) \cdot 4 x \cdot 2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \sqrt{x}

x^{1 + \frac{1}{2}}

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

8 \cdot (- (\sqrt{x} - 2))

-8 \cdot (\sqrt{x} - 2)

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 1

3

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Dividir uma fração por

{(2 x^{2} + 3)}^{2}

equivale a multiplicar o seu denominador por

{(2 x^{2} + 3)}^{2}

\frac{\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x}}}{{(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 \cdot (\sqrt{x} - 2) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

8 \cdot (\sqrt{x} - 2)

8 \sqrt{x} - 16

\frac{2 x^{2} + 3 - (8 \sqrt{x} - 16) \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

- (8 \sqrt{x} - 16) \cdot x^{\frac{3}{2}}

- (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})

\frac{2 x^{2} + 3 - (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 16 x^{\frac{3}{2}})

- 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2}

\frac{1 + 3}{2}

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 3

4

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{\frac{4}{2}} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{4}{2}

2

\frac{2 x^{2} + 3 - 8 x^{2} + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x^{2} - 8 x^{2}

-6 x^{2}

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x^{2} + 3})

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

\frac{- 6 x^{2} + 3 + 16 x^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{- 6 x^{2} + 16 x^{\frac{3}{2}} + 3}{2 \sqrt{x} \cdot {(2 x^{2} + 3)}^{2}}