derivada de f(x)=(x+5)/(x-5) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{x + 5}{x - 5}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x + 5}{x - 5})

Para

p1

x + 5

q2

x - 5

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x + 5)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 5)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x - 5)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 5)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

1

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{1 \cdot (x - 5) - (x + 5) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}

\frac{x - 5 - (x + 5)}{{(x - 5)}^{2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x + 5)

- x - 5

\frac{x - 5 - x - 5}{{(x - 5)}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 5 - 5

-10

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x - x

0

\frac{0 - 10}{{(x - 5)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 10

-10

- \frac{10}{{(x - 5)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x + 5}{x - 5})

- \frac{10}{{(x - 5)}^{2}}

▶Derivada:

- \frac{10}{{(x - 5)}^{2}}