derivada de f(x)=(x^2)/(1+4x) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{x^{2}}{1 + 4 x}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 + 4 x})

Para

p1

x^{2}

q2

1 + 4 x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + 4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (4 x)

\frac{d}{d x} (4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

4

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (1 + 4 x) - x^{2} \cdot 4}{{(1 + 4 x)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot (1 + 4 x) - x^{2} \cdot 4}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot ((4 x + 1) - 2 x)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot ((4 x + 1) - 2 x)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

4 x - 2 x

2 x

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 + 4 x})

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(1 + 4 x)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{2 x \cdot (2 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2}}