derivada de f(x)=(x^2)/(2+x) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{x^{2}}{2 + x}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2 + x})

Para

p1

x^{2}

q2

2 + x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (2 + x)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 + x)

0 + 1

0 + 1

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 1

1

1

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{2 x \cdot (2 + x) - x^{2} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{2 x \cdot (2 + x) - x^{2}}{{(2 + x)}^{2}}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 x \cdot (2 + x) - x^{2}}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 2) - x)}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{x \cdot (2 \cdot (x + 2) - x)}{{(2 + x)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (x + 2)

2 x + 4

\frac{x \cdot (2 x + 4 - x)}{{(2 + x)}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

2 x - x

x

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(2 + x)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2 + x})

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(2 + x)}^{2}}

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(2 + x)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{x \cdot (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}