derivada de f(x)=(x^2+3)^3(x^3+3)^2

Guardamos a definição:

f (x) = {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2})

Para

u1

{(x^{2} + 3)}^{3}

v2

{(x^{3} + 3)}^{2}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} + 3

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 3) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 3) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

3 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0) \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

3 \cdot 2 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

ⅰ

3 \cdot 2

6

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2}

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3)}^{2})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{3} + 3

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot (x^{3} + 3)

2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3) \cdot x^{3} + 6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3} + 3)

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} + 3)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

2 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0) \cdot x^{3} + 6 \cdot (\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

2 \cdot 3 x^{2} \cdot x^{3} + 6 \cdot 3 x^{2}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 3

6

6 \cdot 3

18

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x^{2} x^{3}

x^{5}

6 x^{5} + 18 x^{2}

4) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3)}^{3} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2})

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2})

6 x \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + {(x^{2} + 3)}^{3} \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2})

{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot (6 x \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + (x^{2} + 3) \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2}))

ⓘ Como um quadrado nunca é negativo,

x^{2} + 3

não se anula nem se fatoriza em ℝ

▶Derivada:

{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot (6 x \cdot {(x^{3} + 3)}^{2} + (x^{2} + 3) \cdot (6 x^{5} + 18 x^{2}))