derivada de f(x)=x^x(ln(x)+1) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

f (x) = x^{x} \cdot (\ln (x) + 1)

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{x} \cdot (\ln (x) + 1))

Para

u1

x^{x}

v2

\ln (x) + 1

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{x})

Para derivar nos intervalos onde

x > 0

, escrevemos

x^{x}

e^{x \cdot \ln (x)}

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{x})

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x)) \cdot e^{x \cdot \ln (x)}

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x)) \cdot e^{x \cdot \ln (x)}

⇥Para

u3

x

v4

\ln (x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u3 \cdot v4) = \frac{d}{d x} (u3) \cdot v4 + u3 \cdot \frac{d}{d x} (v4)

⇥2.1) Vamos derivar

u3

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥2.2) Vamos derivar

v4

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥2.3) Avaliamos a derivada obtida (

u3 \cdot v4

)':

1 \cdot \ln (x) + x \cdot \frac{1}{x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x \cdot \frac{1}{x}

\frac{x \cdot 1}{x}

\frac{x}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

⇥

\ln (x) + 1

⇥2.4) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \ln (x))

\ln (x) + 1

(\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(\ln (x) + 1) \cdot x^{x}

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\ln (x) + 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (\ln (x) + 1)

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (\ln (x)) + 0

\frac{d}{d x} (\ln (x))

■A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1) + x^{x} \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x^{x} \cdot \frac{1}{x}

\frac{x^{x} \cdot 1}{x}

\frac{x^{x}}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{x^{x}}{x}

x^{x - 1}

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1) + x^{x - 1}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x}) \cdot (\ln (x) + 1)

\ln (x) \cdot x^{x} \cdot \ln (x)

+ \ln (x) \cdot x^{x} \cdot 1

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x} \cdot 1

\ln (x) \cdot x^{x} \cdot \ln (x)

+ \ln (x) \cdot x^{x} \cdot 1

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x} \cdot 1

+ x^{x - 1}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\ln (x) \cdot \ln (x)

{\ln (x)}^{2}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\ln (x) \cdot x^{x} + x^{x} \cdot \ln (x)

2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{x} \cdot (\ln (x) + 1))

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

{\ln (x)}^{2} \cdot x^{x}

+ 2 \cdot \ln (x) \cdot x^{x}

+ x^{x}

+ x^{x - 1}

▶Derivada:

x^{x} \cdot {\ln (x)}^{2}

+ 2 x^{x} \cdot \ln (x)

+ x^{x}

+ x^{x - 1}