derivada de h(x)=(x^2+4x+1)/(3x+5)

Guardamos a definição:

h (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5})

Para

p1

x^{2} + 4 x + 1

q2

3 x + 5

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 1)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + 0

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

2 x + 4

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{(2 x + 4) \cdot (3 x + 5) - (x^{2} + 4 x + 1) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(2 x + 4) \cdot (3 x + 5)

2 \cdot x \cdot 3 \cdot x

+ 2 x \cdot 5

+ 4 \cdot 3 x

+ 4 \cdot 5

- (x^{2} + 4 x + 1) \cdot 3

- (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)

\frac{2 \cdot x \cdot 3 \cdot x + 2 x \cdot 5 + 4 \cdot 3 x + 4 \cdot 5 - (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 3

6

2 \cdot 5

10

4 \cdot 3

12

4 \cdot 5

20

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (x^{2} \cdot 3 + 12 x + 3)

- x^{2} \cdot 3 - 12 x - 3

\frac{6 x^{2} + 10 x + 12 x + 20 - x^{2} \cdot 3 - 12 x - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

20 - 3

17

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

12 x

+ 17

- x^{2} \cdot 3

- 12 x

17 - x^{2} \cdot 3

6 x^{2} - x^{2} \cdot 3

3 x^{2}

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 4 x + 1}{3 x + 5})

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{3 x^{2} + 10 x + 17}{{(3 x + 5)}^{2}}