derivada de ln(1/(1-x)) — solução passo a passo

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{1 - x}

{(1 - x)}^{-1}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln ({(1 - x)}^{-1}))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

{(1 - x)}^{-1}

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln ({(1 - x)}^{-1}))

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot 1}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})}{{(1 - x)}^{-1}}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\frac{\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})}{{(1 - x)}^{-1}}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot {(1 - x)}^{1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1}) \cdot {(1 - x)}^{1}

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 - x

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{d}{d x} (1 - x) \cdot {(1 - x)}^{-2} \cdot (1 - x)

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x) \cdot (1 - x)}{{(1 - x)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x) \cdot (1 - x)}{{(1 - x)}^{2}}

Simplificamos a fração

\frac{1 - x}{{(1 - x)}^{2}}

pelo fator comum

1 - x

para obter a nova fração:

\frac{1}{1 - x}

- \frac{\frac{d}{d x} (1 - x)}{1 - x}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

- \frac{0 + \frac{d}{d x} (- x)}{1 - x}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

- (\frac{-1}{1 - x})

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-1}{1 - x})

\frac{1}{1 - x}

▶Derivada:

\frac{1}{1 - x}