derivada de ln(x*sqrt(x^2-1)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}))

\frac{d}{d x} (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}) \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{d}{d x} (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}) \cdot \frac{1}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

Para

u1

x

v2

\sqrt{x^{2} - 1}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} - 1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

x^{2} - 1

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x^{2} - 1})

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x \cdot x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot \sqrt{x^{2} - 1})

\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\sqrt{x^{2} - 1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{\frac{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1} + x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

x^{2} - 1

\frac{\frac{x^{2} - 1 + x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x^{2} + x^{2}

2 x^{2}

\frac{\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Dividir uma fração por

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

equivale a multiplicar o seu denominador por

x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

\frac{\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}}{x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{2 x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot x \cdot \sqrt{x^{2} - 1}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x^{2} - 1} \cdot \sqrt{x^{2} - 1}

x^{2} - 1

\frac{2 x^{2} - 1}{(x^{2} - 1) \cdot x}

▶Derivada:

\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot (x^{2} - 1)}