derivada de ln(y/x) — solução passo a passo

A expressão

\ln (\frac{y}{x})

contém várias variáveis: escolhemos a variável x para a derivação

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (\frac{y}{x}))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

\frac{y}{x}

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (\frac{y}{x}))

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{\frac{y}{x}}

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{\frac{y}{x}}

Para

p1

y

q2

x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (y)

ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d x} (y)

0

0

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x - y \cdot 1}{x^{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x

0

\frac{0 - y}{x^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - y

- y

- \frac{y}{x^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{y}{x})

- \frac{y}{x^{2}}

- \frac{\frac{y}{x^{2}}}{\frac{y}{x}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\frac{y}{x^{2}}}{\frac{y}{x}}

- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x}{y}

- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x}{y}

Simplificamos a fração

\frac{x}{x^{2}}

pelo fator comum

x

para obter a nova fração:

\frac{1}{x}

▶Derivada:

- \frac{1}{x}