derivada de sin(3x^2cos(2x)) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

3 x^{2} \cdot \cos (2 x)

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

Para

u1

x^{2}

v2

\cos (2 x)

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\cos (2 x))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\cos (f)) = - \frac{d}{d x} (f) \cdot \sin (f)

com f =

2 x

ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (2 x))

- \frac{d}{d x} (2 x) \cdot \sin (2 x)

- \frac{d}{d x} (2 x) \cdot \sin (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

- 2 \cdot \sin (2 x)

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

x^{2} \cdot (-2) \cdot \sin (2 x)

- 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \cos (2 x))

2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)

3 \cdot (2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)

(6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(6 x \cdot \cos (2 x) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x)) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x))

6 x \cdot \cos (2 x) \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) - 6 x^{2} \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot \sin (2 x)

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot (6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x))

Vamos fatorizar em

ℝ

(6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x))

Colocamos em evidência

6

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

6 \cdot \cos (2 x) - 6 x \cdot \sin (2 x)

6 \cdot (\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x))

Fator encontrado:

\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x)

▶Derivada:

6 x \cdot \cos (3 x^{2} \cdot \cos (2 x)) \cdot (\cos (2 x) - x \cdot \sin (2 x))