derivada de sin(arctan(3x)) — solução passo a passo

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (\arctan (3 x)))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

\arctan (3 x)

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\arctan (3 x)))

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x)) \cdot \cos (\arctan (3 x))

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x)) \cdot \cos (\arctan (3 x))

Para

t

real,

atan (t)

pertence a

] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

, pelo que o seu cosseno é estritamente positivo e

\cos (\arctan (t)) = \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}

ⅰ

\cos (\arctan (3 x))

\frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x)) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\arctan (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f^{2} + 1}

com f =

3 x

ⓘ A derivada de

\arctan (x)

\frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{d x} (\arctan (3 x))

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{{(3 x)}^{2} + 1}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{{(3 x)}^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{{(3 x)}^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x) \cdot 1}{({(3 x)}^{2} + 1) \cdot \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x)}{({(3 x)}^{2} + 1) \cdot \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

({(3 x)}^{2} + 1) \cdot \sqrt{1 + {(3 x)}^{2}}

{({(3 x)}^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}

\frac{3}{{({(3 x)}^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

1 + \frac{1}{2}

\frac{2 + 1}{2}

\frac{3}{{({(3 x)}^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

2 + 1

3

\frac{3}{{({(3 x)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(3 x)}^{2}

3^{2} \cdot x^{2}

\frac{3}{{(3^{2} \cdot x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

▶Derivada:

\frac{3}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}