derivada de sqrt(x)(2x+4) — solução passo a passo

⚠ sqrt(x)(2x+4) é interpretado como sqrt(x)*(2x+4): utilize (...)*(...) para uma multiplicação, utilize (...)^(...) para uma potência

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} \cdot (2 x + 4))

Para

u1

\sqrt{x}

v2

2 x + 4

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (2 x + 4)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x + 4)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x + 4) + \sqrt{x} \cdot 2

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (2 x + 4)

\frac{1 \cdot (2 x + 4)}{2 \sqrt{x}}

\frac{2 x + 4}{2 \sqrt{x}}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 x + 4}{2 \sqrt{x}}

\frac{x + 2}{\sqrt{x}}

\frac{x + 2}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\sqrt{x} \cdot (2 x + 4))

\frac{x + 2}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2

\frac{x + 2}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2

▶Derivada:

2 \sqrt{x} + \frac{x + 2}{\sqrt{x}}