derivada de x^2(240-x/3) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (240 - \frac{x}{3}))

Para

u1

x^{2}

v2

240 - \frac{x}{3}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (240 - \frac{x}{3})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (240 - \frac{x}{3})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{x}{3})

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{x}{3})

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- \frac{x}{3})

\frac{d}{d x} (- \frac{x}{3})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

. A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- \frac{x}{3})

- \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot (240 - \frac{x}{3}) + x^{2} \cdot (- \frac{1}{3})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x^{2} \cdot (- \frac{1}{3})

- \frac{x^{2} \cdot 1}{3}

- \frac{x^{2}}{3}

2 x \cdot (240 - \frac{x}{3}) - \frac{x^{2}}{3}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 x \cdot (240 - \frac{x}{3})

480 x + 2 x \cdot (- \frac{x}{3})

480 x + 2 x \cdot (- \frac{x}{3}) - \frac{x^{2}}{3}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

2 x \cdot (- \frac{x}{3})

- \frac{2 \cdot x \cdot x}{3}

- \frac{2 x^{2}}{3}

480 x - \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- \frac{2 x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}

- x^{2}

480 x - x^{2}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (240 - \frac{x}{3}))

480 x - x^{2}

480 x - x^{2}

x \cdot (480 - x)

▶Derivada:

x \cdot (480 - x)