derivada de x^2(3-x) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (3 - x))

Para

u1

x^{2}

v2

3 - x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (3 - x)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

-1

4) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

2 x \cdot (3 - x) + x^{2} \cdot (-1)

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

x^{2} \cdot (-1)

- x^{2}

2 x \cdot (3 - x) - x^{2}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 x \cdot (3 - x)

6 x + 2 \cdot x \cdot (- x)

6 x + 2 \cdot x \cdot (- x) - x^{2}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x)

-2 x

6 x - 2 \cdot x \cdot x - x^{2}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

6 x - 2 x^{2} - x^{2}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 2 x^{2} - x^{2}

-3 x^{2}

6 x - 3 x^{2}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (3 - x))

6 x - 3 x^{2}

6 x - 3 x^{2}

Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (6 - 3 x)

Vamos fatorizar em

ℝ

(6 - 3 x)

Colocamos em evidência

3

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

6 - 3 x

3 \cdot (2 - x)

Fator encontrado:

2 - x

▶Derivada:

3 x \cdot (2 - x)