derivada de x^2sqrt(3x+5) — solução passo a passo

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \sqrt{3 x + 5})

Para

u1

x^{2}

v2

\sqrt{3 x + 5}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

2) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

3) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (\sqrt{3 x + 5})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

3 x + 5

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{3 x + 5})

\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x + 5) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

\frac{\frac{d}{d x} (3 x + 5)}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 5)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (3 x) + 0}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

\frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

4) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (x^{2} \cdot \sqrt{3 x + 5})

2 x \cdot \sqrt{3 x + 5} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

2 x \cdot \sqrt{3 x + 5} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}}

▶Derivada:

\frac{3 x^{2}}{2 \cdot \sqrt{3 x + 5}} + 2 x \cdot \sqrt{3 x + 5}