derivada de x/(x^2+y^2)-y^2 em relacão a x

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + y^{2}} - y^{2})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + y^{2}} - y^{2})

\frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}) + \frac{d}{d x} (- y^{2})

\frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + y^{2}}) + \frac{d}{d x} (- y^{2})

Para

p1

x

q2

x^{2} + y^{2}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2})

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (y^{2})

0

2 x + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

2 x + 0

2 x

2 x

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{1 \cdot (x^{2} + y^{2}) - x \cdot 2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x \cdot x

x^{2}

\frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x^{2} - 2 x^{2}

- x^{2}

\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (- y^{2})

0

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + y^{2}})

\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0

\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

▶Derivada:

\frac{y^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}