derivada de y=3+(12)/(2-x) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

y = 3 + \frac{12}{2 - x}

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{12}{2 - x}

12 \cdot {(2 - x)}^{-1}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (3 + 12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 + 12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

0 + \frac{d}{d x} (12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

0 + \frac{d}{d x} (12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

2 - x

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

\frac{d}{d x} (12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (12 \cdot {(2 - x)}^{-1})

12 \cdot \frac{d}{d x} ({(2 - x)}^{-1})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(2 - x)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (2 - x) \cdot {(2 - x)}^{-2}

12 \cdot (-1 \cdot \frac{d}{d x} (2 - x) \cdot {(2 - x)}^{-2})

ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

12 \cdot (-1)

-12

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

-12 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) \cdot {(2 - x)}^{-2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 12 \cdot \frac{d}{d x} (- x) \cdot {(2 - x)}^{-2}

- \frac{12 \cdot \frac{d}{d x} (- x)}{{(2 - x)}^{2}}

- \frac{12 \cdot \frac{d}{d x} (- x)}{{(2 - x)}^{2}}

ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

- \frac{12 \cdot (-1)}{{(2 - x)}^{2}}

ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

12 \cdot (-1)

-12

- (\frac{-12}{{(2 - x)}^{2}})

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-12}{{(2 - x)}^{2}})

\frac{12}{{(2 - x)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{12}{{(2 - x)}^{2}}