derivada de y=(3x+4)/(sqrt(2x-1))

Guardamos a definição:

y = \frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}})

Para

p1

3 x + 4

q2

\sqrt{2 x - 1}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x - 1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

2 x - 1

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x - 1})

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x - 1)}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 x - 1)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) + 0}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2 x - 1}}

\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(\sqrt{2 x - 1})}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

(3 x + 4) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{(3 x + 4) \cdot 1}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

3 \cdot \sqrt{2 x - 1} - \frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}}

\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4)}{\sqrt{2 x - 1}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{2 x - 1})}^{2}

{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{3 \cdot \sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} - (3 x + 4)}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (3 x + 4)

- 3 x - 4

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1}

2 x - 1

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{{(2 x - 1)}^{1}}

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}

ⓘ Dividir uma fração por

2 x - 1

equivale a multiplicar o seu denominador por

2 x - 1

\frac{\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1}}}{2 x - 1}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{\sqrt{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{2 x - 1} \cdot (2 x - 1)

{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{3 \cdot (2 x - 1) - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

3 \cdot (2 x - 1)

6 x - 3

\frac{6 x - 3 - 3 x - 4}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 3 - 4

-7

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

6 x - 3 x

3 x

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{3 x + 4}{\sqrt{2 x - 1}})

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{3 x - 7}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}