derivada de y=(5x-2)/(sqrt(x)) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

y = \frac{5 x - 2}{\sqrt{x}}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{5 x - 2}{\sqrt{x}})

Para

p1

5 x - 2

q2

\sqrt{x}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (5 x - 2)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (5 x - 2)

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (5 x) + 0

\frac{d}{d x} (5 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (5 x)

5

5

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{5 \sqrt{x} - (5 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{{(\sqrt{x})}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

(5 x - 2) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{(5 x - 2) \cdot 1}{2 \sqrt{x}}

\frac{5 x - 2}{2 \sqrt{x}}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

5 \sqrt{x} - \frac{5 x - 2}{2 \sqrt{x}}

\frac{5 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (5 x - 2)}{2 \sqrt{x}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{x})}^{2}

x^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{\frac{5 \sqrt{x} \cdot 2 \sqrt{x} - (5 x - 2)}{2 \sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (5 x - 2)

- 5 x + 2

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 2

10

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}

x

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

\frac{\frac{10 x - 5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x^{1}}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

10 x - 5 x

5 x

\frac{\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x}

ⓘ Dividir uma fração por

x

equivale a multiplicar o seu denominador por

x

\frac{\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x}}}{x}

\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x} \cdot x}

\frac{5 x + 2}{2 \sqrt{x} \cdot x}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\sqrt{x} x

x^{\frac{1}{2} + 1}

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{5 x - 2}{\sqrt{x}})

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{5 x + 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}