derivada de y=(7ln(x))/(3x+4) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

y = \frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4}

1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4})

Para

p1

7 \cdot \ln (x)

q2

3 x + 4

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (7 \cdot \ln (x))

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (7 \cdot \ln (x))

7 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x))

■A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

7 \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

7 \cdot \frac{1}{x}

\frac{7 \cdot 1}{x}

\frac{7}{x}

\frac{7}{x}

3) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x + 4)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

3

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{\frac{7}{x} \cdot (3 x + 4) - 7 \cdot \ln (x) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{7}{x} \cdot (3 x + 4)

\frac{7 \cdot (3 x + 4)}{x}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

7 \cdot 3

21

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{7 \cdot (3 x + 4)}{x} - 21 \cdot \ln (x)

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}

\frac{\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}}{{(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Dividir uma fração por

{(3 x + 4)}^{2}

equivale a multiplicar o seu denominador por

{(3 x + 4)}^{2}

\frac{\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x}}{{(3 x + 4)}^{2}}

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

\frac{7 \cdot (3 x + 4) - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

7 \cdot (3 x + 4)

21 x + 28

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{7 \cdot \ln (x)}{3 x + 4})

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

\frac{21 x + 28 - 21 \cdot \ln (x) \cdot x}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}

▶Derivada:

\frac{- 21 x \cdot \ln (x) + 21 x + 28}{x \cdot {(3 x + 4)}^{2}}