derivada de y= 1/(sqrt(a^2-x^2)) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

A expressão

\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

contém várias variáveis: escolhemos a variável x para a derivação

Para facilitar a derivação, transformamos a expressão

\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

{(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

a^{2} - x^{2}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}})

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot \frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2}) \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (a^{2} - x^{2})

\frac{d}{d x} (a^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})

- \frac{\frac{d}{d x} (a^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d x} (a^{2})

0

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

- \frac{0 - 2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 2 x

- 2 x

■Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{- 2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 x}{2 \cdot {(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\frac{x}{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}

▶Derivada:

\frac{x}{{(a^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}