derivada implícita (dy)/(dx),x^6-5xy^3=9xy

⚠ xy é interpretado como o produto x*y: para a variável xy, escreva xy_

1) Para

x^{6} - 5 x y^{3} = 9 x y

, consideramos y como uma função derivável de x e derivamos ambos os membros

Fazemos F(x, y) =

x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y

. A regra da cadeia dá

Fx + Fy \cdot \frac{dy}{dx} = 0

Para Fx, derivamos em relação a x mantendo y constante

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

\frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x y)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x y)

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{6})

6 x^{5}

■Ao derivar em relação a

x

-5 y^{3}

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 5 x y^{3})

-5 y^{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)

■Ao derivar em relação a

x

-9 y

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 9 x y)

-9 y \cdot \frac{d}{d x} (x)

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) - 9 y \cdot \frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} \cdot 1 - 9 y \cdot 1

⇥

6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y

Para Fy, derivamos em relação a y mantendo x constante

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d y} (x^{6} - 5 x y^{3} - 9 x y)

\frac{d}{d y} (x^{6}) + \frac{d}{d y} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d y} (- 9 x y)

⇥

\frac{d}{d y} (x^{6}) + \frac{d}{d y} (- 5 x y^{3}) + \frac{d}{d y} (- 9 x y)

⇥ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d y} (x^{6})

0

■Ao derivar em relação a

y

-5 x

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (- 5 x y^{3})

-5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

■Ao derivar em relação a

y

-9 x

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (- 9 x y)

-9 x \cdot \frac{d}{d y} (y)

⇥

0 - 5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3}) - 9 x \cdot \frac{d}{d y} (y)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

-5 x \cdot \frac{d}{d y} (y^{3})

■A derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} (y^{3})

3 y^{2}

■A derivada de

y

1

\frac{d}{d y} (y)

1

⇥

- 5 x \cdot 3 y^{2} - 9 x \cdot 1

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

5 \cdot 3

15

⇥

- 15 x y^{2} - 9 x

As derivadas parciais são Fx =

6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y

e Fy =

- 15 x y^{2} - 9 x

- 15 x y^{2} - 9 x \neq 0

, isolamos a derivada:

\frac{dy}{dx} = - \frac{Fx}{Fy}

. Esta condição é avaliada na curva original

⇥

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- 15 x y^{2} - 9 x}

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 15 x y^{2} - 9 x

- (15 x y^{2} + 9 x)

⇥

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- (15 x y^{2} + 9 x)}

⇥ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- \frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{- (15 x y^{2} + 9 x)}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

⇥

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{15 x y^{2} + 9 x}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{3 x \cdot (5 y^{2} + 3)}

▶Derivada implícita

\frac{dy}{dx}

\frac{6 x^{5} - 5 y^{3} - 9 y}{3 x \cdot (5 y^{2} + 3)}