derivada implícita de x^2+y^2=1 — solução passo a passo

1) Para

x^{2} + y^{2} = 1

, consideramos y como uma função derivável de x e derivamos ambos os membros

Fazemos F(x, y) =

x^{2} + y^{2} - 1

. A regra da cadeia dá

Fx + Fy \cdot \frac{dy}{dx} = 0

Para Fx, derivamos em relação a x mantendo y constante

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (y^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (y^{2})

■A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (y^{2})

0

⇥

2 x + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

2 x + 0

2 x

⇥

2 x

Para Fy, derivamos em relação a y mantendo x constante

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2} - 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2} - 1)

\frac{d}{d y} (x^{2}) + \frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d y} (x^{2}) + \frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

⇥ⓘ Derivar uma constante dá zero:

\frac{d}{d y} (x^{2})

0

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d y} (y^{2}) + 0

\frac{d}{d y} (y^{2})

■A derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} (y^{2})

2 y

⇥

0 + 2 y

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 2 y

2 y

⇥

2 y

As derivadas parciais são Fx =

2 x

e Fy =

2 y

2 y \neq 0

, isolamos a derivada:

\frac{dy}{dx} = - \frac{Fx}{Fy}

. Esta condição é avaliada na curva original

⇥

- \frac{2 x}{2 y}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{2 x}{2 y}

- \frac{x}{y}

▶Derivada implícita

\frac{dy}{dx}

- \frac{x}{y}