derivada implícita xy+4y=10 — solução passo a passo

⚠ xy é interpretado como o produto x*y: para a variável xy, escreva xy_

1) Para

x y + 4 y = 10

, consideramos y como uma função derivável de x e derivamos ambos os membros

Fazemos F(x, y) =

x y + 4 y - 10

. A regra da cadeia dá

Fx + Fy \cdot \frac{dy}{dx} = 0

Para Fx, derivamos em relação a x mantendo y constante

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (x y + 4 y - 10)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x y + 4 y - 10)

\frac{d}{d x} (x y) + \frac{d}{d x} (4 y) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x y) + \frac{d}{d x} (4 y) + 0

⇥ⓘ Ao derivar em relação a

x

y

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (x y)

y \cdot \frac{d}{d x} (x)

y \cdot 1

y

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (4 y) + 0

\frac{d}{d x} (4 y)

■A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (4 y)

0

⇥

y + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

y + 0

y

⇥

y

Para Fy, derivamos em relação a y mantendo x constante

⇥1.2) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} (x y + 4 y - 10)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d y} (x y + 4 y - 10)

\frac{d}{d y} (x y) + \frac{d}{d y} (4 y) + 0

⇥

\frac{d}{d y} (x y) + \frac{d}{d y} (4 y) + 0

⇥ⓘ Ao derivar em relação a

y

x

é considerado constante. Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (x y)

x \cdot \frac{d}{d y} (y)

x \cdot 1

x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d y} (4 y) + 0

\frac{d}{d y} (4 y)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d y} (4 y)

4

⇥

x + 4

As derivadas parciais são Fx =

y

e Fy =

x + 4

x + 4 \neq 0

, isolamos a derivada:

\frac{dy}{dx} = - \frac{Fx}{Fy}

. Esta condição é avaliada na curva original

▶Derivada implícita

\frac{dy}{dx}

- \frac{y}{x + 4}