derivada parcial de ln(x*y/z) em relacão a z

1) Derivamos em relação a

z

; as outras variáveis (

x

y

) são consideradas constantes

Vamos derivar:

\frac{\partial}{\partial z} (\ln (x \cdot \frac{y}{z}))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{\partial}{\partial z} (\ln (f)) = \frac{\partial}{\partial z} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

\frac{x y}{z}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

x \cdot \frac{y}{z}

\frac{x y}{z}

■A derivada de

\ln (z)

\frac{1}{z}

\frac{\partial}{\partial z} (\ln (\frac{x y}{z}))

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{x y}{z}) \cdot \frac{1}{\frac{x y}{z}}

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{x y}{z}) \cdot \frac{1}{\frac{x y}{z}}

Para

p1

x y

q2

z

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{\partial}{\partial z} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{\partial}{\partial z} (q2)}{{q2}^{2}}

2) Vamos derivar

p1

\frac{\partial}{\partial z} (x y)

ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{\partial}{\partial z} (x y)

0

0

3) Vamos derivar

q2

\frac{\partial}{\partial z} (z)

ⓘ A derivada de

z

1

\frac{\partial}{\partial z} (z)

1

1

4) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot z - x y \cdot 1}{z^{2}}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot z

0

\frac{0 - x y}{z^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - x y

- x y

- \frac{x y}{z^{2}}

5) Depois continuamos a derivação:

ⅰ

\frac{\partial}{\partial z} (\frac{x y}{z})

- \frac{x y}{z^{2}}

- \frac{\frac{x y}{z^{2}}}{\frac{x y}{z}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\frac{x y}{z^{2}}}{\frac{x y}{z}}

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

- \frac{x y}{z^{2}} \cdot \frac{z}{x y}

- \frac{x y z}{z^{2} x y}

- \frac{x y z}{z^{2} x y}

Simplificamos a fração

\frac{z}{z^{2}}

pelo fator comum

z

para obter a nova fração:

\frac{1}{z}

▶Derivada:

- \frac{1}{z}