desenvolve (2x+1)^3 — solução passo a passo

Vamos escrever na forma desenvolvida:

{(2 x + 1)}^{3}

Utilizando a fórmula do binómio de Newton:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{n!}{k! (n - k)!}) a^{n - k} b^{k}

, desenvolvemos a expressão matemática:

ⅰ

{(2 x + 1)}^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3} \cdot 1^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(2 x)}^{1} \cdot 1^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(2 x)}^{0} \cdot 1^{3}

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3} \cdot 1^{0}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 1^{1}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot {(2 x)}^{1} \cdot 1^{2}

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot {(2 x)}^{0} \cdot 1^{3}

ⓘ Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1:

1^{0}

1

■Qualquer número não nulo elevado a 0 vale 1. Neste cálculo, adotamos a convenção

0^{0} = 1

{(2 x)}^{0}

1

\frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot {(2 x)}^{3}

+ \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot {(2 x)}^{2}

+ \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 2 x

+ \frac{3!}{0! \cdot 3!}

ⓘ O fatorial de um inteiro estritamente positivo é o produto de todos os inteiros de 1 até esse inteiro:

3!

6

2!

2

1!

1

■Por convenção, o fatorial de 0 vale 1:

0!

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

6 \cdot 1

6

2 \cdot 1

2

1 \cdot 2

2

1 \cdot 6

6

\frac{6}{6} \cdot {(2 x)}^{3}

+ \frac{6}{2} \cdot {(2 x)}^{2}

+ \frac{6}{2} \cdot 2 x

+ \frac{6}{6}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

6

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{6}

1

■Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot {(2 x)}^{3}

{(2 x)}^{3}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{6}{2}

3

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

\frac{6}{2} \cdot 2

6

{(2 x)}^{3}

+ 3 \cdot {(2 x)}^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(2 x)}^{3}

2^{3} \cdot x^{3}

{(2 x)}^{2}

2^{2} \cdot x^{2}

2^{3} \cdot x^{3}

+ 3 \cdot 2^{2} \cdot x^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

8 x^{3}

+ 3 \cdot 4 x^{2}

+ 6 x

+ 1

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 4

12

▶Forma desenvolvida:

8 x^{3}

+ 12 x^{2}

+ 6 x

+ 1