domínio de definicão de f(x)=(x^3-x)/(x^3-x^2-2x)

Guardamos a definição:

f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

1) Vamos determinar o domínio de

\frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

Para que a expressão

\frac{x^{3} - x}{x^{3} - x^{2} - 2 x}

esteja definida, é necessário:

x^{3} - x^{2} - 2 x \neq 0

Podemos fatorizar a expressão

x^{3} - x^{2} - 2 x

como

x \cdot (x^{2} - x - 2)

⇥1.1) Vamos resolver em

ℝ

x \neq 0

⇥Solução encontrada:

x \neq 0

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

x^{2} - x - 2 \neq 0

⇥Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -2

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ Partimos de

1

e avançamos

8

na reta numérica:

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

⇥A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2}

⇥ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

⇥

x_{1} = \frac{1 - 3}{2}

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 3

-2

⇥

x_{1} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{2}

-1

⇥

x_{1} = -1