domínio de definicão de f(x)=sqrt((x^2-5x+4)/(3-x))

Guardamos a definição:

f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

1) Vamos determinar o domínio de

\sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

Para que a expressão

\sqrt{\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}}

esteja definida, é necessário:

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0

Para que a expressão

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}

esteja definida, é necessário:

3 - x \neq 0

2) Vamos resolver em

ℝ

\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0

Estudamos o sinal do numerador

Vamos estudar o sinal de

x^{2} - 5 x + 4

resolvendo em

ℝ

x^{2} - 5 x + 4 \geq 0

Dada a forma quadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -5

c = 4

Δ = {(-5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-5)}^{2}

(-5) \cdot (-5)

25

Δ = 25 - 4 \cdot 4

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

Δ = 25 - 16

ⓘ Partimos de

25

e recuamos

16

na reta numérica:

25 - 16

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{1} = \frac{5 - 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 - 3

2

x_{1} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

x_{1} = 1

A fórmula resolvente do segundo grau dá

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{9}

3

pois

3^{2}

9

x_{2} = \frac{5 + 3}{2}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

5 + 3

8

x_{2} = \frac{8}{2}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{8}{2}

4

x_{2} = 4

O trinómio tem o sinal de a (

1

) fora das suas raízes, pelo que é positivo fora delas; as raízes, onde se anula, estão incluídas.

Solução encontrada:

x \in] -∞; 1] \cup [4; +∞ [

⇥Portanto, a expressão

x^{2} - 5 x + 4

é positiva ou nula em

] -∞; 1] \cup [4; +∞ [

e negativa nos restantes pontos

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

⇥A expressão

3 - x

anula-se em:

⇥

x = 3

⇥Como o seu coeficiente de

x

-1

, é negativo, é positiva antes e negativa depois de

3

(valor excluído)

3) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$1$		$3$		$4$		$+∞$
$x^{2} - 5 x + 4$		+	0	-		-	0	+
$3 - x$		+		+	0	-		-
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x}$		+	0	-	❌	+	0	-

Solução obtida:

x \in] -∞; 1] \cup] 3; 4]

4) Vamos resolver em

ℝ

3 - x \neq 0

ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

3 \neq x

Solução encontrada:

x \neq 3

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

x	$-∞$		$1$		$3$		$4$		$+∞$
$\frac{x^{2} - 5 x + 4}{3 - x} \geq 0$		✅	✅	❌	❌	✅	✅	❌
$3 - x \neq 0$		✅	✅	✅	❌	✅	✅	✅
Domínio de definição:		✅	✅	❌	❌	✅	✅	❌

▶Domínio de definição:

x \in] -∞; 1] \cup] 3; 4]