domínio de definicão de sqrt(-x^3-x^2+16x+16)

1) Vamos determinar o domínio de

\sqrt{- x^{3} - x^{2} + 16 x + 16}

Para que a expressão

\sqrt{- x^{3} - x^{2} + 16 x + 16}

esteja definida, é necessário:

- x^{3}

- x^{2}

+ 16 x

+ 16 \geq 0

⇥1.1) Vamos testar a solução evidente:

x = -1

⇥Vamos calcular o valor de:

- {(-1)}^{3}

- {(-1)}^{2}

+ 16 \cdot (-1)

+ 16

⇥ⓘ Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

- {(-1)}^{3}

- ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1))

- (-1)

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

16 \cdot (-1)

-16

⇥

- (-1)

- 1

- 16

+ 16

⇥ⓘ Subtrair um número negativo equivale a somar o seu oposto: dois sinais de menos dão um mais:

- (-1)

1

■Partimos de

-16

e avançamos

16

na reta numérica, até ao zero:

- 16 + 16

0

⇥

1 - 1 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

- 1 + 0

-1

■Partimos de

1

e recuamos

1

na reta numérica, até ao zero:

1 - 1

0

⇥

0

⇥Solução encontrada:

x = -1

⇥1.2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(- x^{3}

- x^{2}

+ 16 x

+ 16)

por

(x + 1)

⇥

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16$	$- \frac{x^{3}}{x}$	$- x^{2}$	$- x^{2} \cdot (x + 1) = - x^{3} - x^{2}$	$(- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16) - (- x^{3} - x^{2}) = 16 x + 16$
$16 x + 16$	$\frac{16 x}{x}$	$16$	$16 \cdot (x + 1) = 16 x + 16$	$(16 x + 16) - (16 x + 16) = 0$

⇥Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

- x^{2} + 16

(x + 1) \cdot (16 - x^{2})

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥A expressão

x + 1

anula-se em

x = -1

e é negativa antes e positiva depois

⇥1.3) Vamos estudar o sinal de

16 - x^{2}

resolvendo em

ℝ

16 - x^{2} \geq 0

⇥Dividimos ambos os membros por

-1

, que é negativo, pelo que invertemos o sentido da desigualdade

⇥Uma potência par só depende do valor absoluto:

x^{2} \leq 16

equivale a

| x | \leq 4

⇥

| A | \leq B

equivale a

- B \leq A \leq B

⇥

-4 \leq x \leq 4

⇥Solução obtida:

x \in [-4; 4]

⇥Portanto, a expressão

16 - x^{2}

é positiva ou nula em

[-4; 4]

e negativa nos restantes pontos

2) Vamos construir o quadro de sinais:

x	$-∞$		$-4$		$-1$		$4$		$+∞$
$x + 1$		-		-	0	+		+
$16 - x^{2}$		-	0	+		+	0	-
$- x^{3}$ $- x^{2}$ $+ 16 x$ $+ 16$		+	0	-	0	+	0	-

▶Domínio de definição:

x \in] -∞; -4] \cup [-1; 4]