domínio de f(x)=ln(1/x-1/(1-x)) — solução passo a passo

Guardamos a definição:

f (x) = \ln (\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x})

1) Vamos procurar o domínio de

\ln (\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x})

Para que a expressão

\ln (\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x})

esteja definida, é necessário:

\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x} > 0

Para que a expressão

\frac{1}{x}

esteja definida, é necessário:

x \neq 0

Para que a expressão

- \frac{1}{1 - x}

esteja definida, é necessário:

1 - x \neq 0

2) Vamos resolver em

ℝ

\frac{1}{x} - \frac{1}{1 - x} > 0

3) Vamos somar as frações:

\frac{1}{x} + \frac{1}{- 1 + x} > 0

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{x} + \frac{1}{- 1 + x}

\frac{(- 1 + x) + x}{x \cdot (- 1 + x)}

\frac{(- 1 + x) + x}{x \cdot (- 1 + x)} > 0

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + x

2 x

\frac{- 1 + 2 x}{x \cdot (- 1 + x)} > 0

Estudamos o sinal do numerador

⇥A expressão

- 1 + 2 x

anula-se em:

⇥

x = \frac{1}{2}

⇥Como o seu coeficiente de

x

2

, é positivo, é negativa antes e positiva depois de

\frac{1}{2}

Estudamos o sinal do denominador, que não se deve anular

Vamos resolver em

ℝ

x \cdot (- 1 + x) > 0

Estudamos o sinal de cada fator do produto

⇥A expressão

x

anula-se em

x = 0

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

⇥A expressão

- 1 + x

anula-se em

x = 1

(valor excluído) e é negativa antes e positiva depois

4) Vamos construir o quadro de sinais:

Solução obtida:

x \in] 0; \frac{1}{2} [\cup] 1; +∞ [

5) Vamos resolver em

ℝ

1 - x \neq 0

ⓘ Somamos

x

a ambos os membros

1 \neq x

Solução encontrada:

x \neq 1

Vamos construir o quadro das diferentes soluções para encontrar a solução global:

▶Domínio de definição:

x \in] 0; \frac{1}{2} [\cup] 1; +∞ [