e^x - e^(-x) = 1 — solução passo a passo

1) Vamos resolver em

ℝ

e^{x} - e^{- x} = 1

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

e^{- x}

\frac{1}{e^{x}}

e^{x} - \frac{1}{e^{x}} = 1

Multiplicamos ambos os membros por

e^{x}

, estritamente positivo

e^{x} \cdot e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot e^{x} = e^{x}

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

e^{x} \cdot e^{x}

e^{x + x}

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{e^{x}} \cdot e^{x}

\frac{1 \cdot e^{x}}{e^{x}}

\frac{e^{x}}{e^{x}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{e^{x}}{e^{x}}

-1

e^{x + x} - 1 = e^{x}

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

x + x

2 x

e^{2 x} - 1 = e^{x}

Vamos definir:

X = e^{x}

Podemos transformar a expressão em:

X^{2} - X - 1 = 0

Dada a forma quadrática

a X^{2} + b X + c

, calculamos o discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aqui

a = 1

b = -1

c = -1

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

Δ = 1 - 4 \cdot (-1)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 4 \cdot (-1)

4

Δ = 1 + 4

ⓘ Partimos de

1

e avançamos

4

na reta numérica:

1 + 4

5

Δ = 5

Como

Δ > 0

, a equação tem duas raízes:

A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

X_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

A fórmula resolvente do segundo grau dá

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

X_{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Soluções encontradas:

X = {\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

2) Vamos resolver para x:

X = e^{x}

utilizando

X = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Em ℝ, a função exponencial é estritamente positiva:

e^{x} > 0

, enquanto

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

\approx -0,6180

é negativo, pelo que

e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

não tem solução

Solução:

x \in \emptyset

3) Vamos resolver para x:

X = e^{x}

utilizando

X = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Podemos aplicar a função ln a ambos os membros:

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; quando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

\ln (e^{x})

x

▶Solução obtida:

x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

4) O valor numérico de:

x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})

é:

x = \ln (\frac{1 + \approx 2,2361}{2})

x = \ln (\frac{\approx 3,2361}{2})

x = \ln (\approx 1,6180)

▷

x = \approx 0,4812