extremos de 4x(x^2-9) — solução passo a passo

Vamos procurar os extremos locais estritos de

4 x \cdot (x^{2} - 9)

: são os pontos do domínio onde a sua derivada muda de sinal

⇥Vamos estudar a variação de

f (x)

: procuremos primeiro onde se anula a sua derivada

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 36

⇥Vamos resolver em

ℝ

12 x^{2} - 36 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

12

⇥

x^{2} = 3

⇥Os dois números cujo quadrado vale

3

são

- \sqrt{3}

\sqrt{3}

⇥Soluções encontradas:

x = {- \sqrt{3}; \sqrt{3}}

⇥

f^{'} (x)

anula-se em

x = {- \sqrt{3}; \sqrt{3}}

⇥Formada por funções usuais,

f^{'} (x)

é contínua onde está definida: em cada intervalo onde não se anula, mantém o sinal do seu valor num ponto

⇥

f^{'} (-2) = 12

> 0:

f

é crescente em

] -∞; - \sqrt{3} [

⇥

f^{'} (0) = -36

< 0:

f

é decrescente em

] - \sqrt{3}; \sqrt{3} [

⇥

f^{'} (2) = 12

> 0:

f

é crescente em

] \sqrt{3}; +∞ [

⇥Vamos calcular os valores de

f

nos extremos do quadro, ou os seus limites nos extremos infinitos ou excluídos

⇥Quando

x

tende para

-∞

f (x)

tende para

-∞

⇥

f (- \sqrt{3}) = 4 \cdot (- \sqrt{3}) \cdot ({(- \sqrt{3})}^{2} - 9) = 24 \cdot \sqrt{3}

⇥

f (\sqrt{3}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot ({(\sqrt{3})}^{2} - 9) = - 24 \cdot \sqrt{3}

⇥Quando

x

tende para

+∞

f (x)

tende para

+∞

⇥Vamos construir o quadro de variação:

⇥

⇥Portanto,

f

é crescente em

] -∞; - \sqrt{3}]

, decrescente em

[- \sqrt{3}; \sqrt{3}]

e crescente em

[\sqrt{3}; +∞ [

x = - \sqrt{3}

f

' passa de + para -:

f

tem um máximo local estrito,

f (- \sqrt{3}) = 24 \cdot \sqrt{3}

x = \sqrt{3}

f

' passa de - para +:

f

tem um mínimo local estrito,

f (\sqrt{3}) = - 24 \cdot \sqrt{3}

▶Extremos locais estritos:

{(- \sqrt{3}; 24 \cdot \sqrt{3}); (\sqrt{3}; - 24 \cdot \sqrt{3})}