extremos de 60x^2-20x^3 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

60 x^{2} - 20 x^{3}

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (60 x^{2} - 20 x^{3})

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{2} - 20 x^{3})

\frac{d}{d x} (60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

-20 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 2 x - 20 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 2

120

20 \cdot 3

60

⇥

120 x - 60 x^{2}

⇥Podemos fatorizar a expressão como:

x \cdot (120 - 60 x)

⇥Vamos fatorizar em

ℝ

(120 - 60 x)

⇥Colocamos em evidência

60

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

120 - 60 x

60 \cdot (2 - x)

⇥Fator encontrado:

2 - x

⇥A primeira derivada é

60 x \cdot (2 - x)

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

60 x \cdot (2 - x) = 0

⇥Simplificamos a expressão por

60

⇥Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus fatores for nulo: igualamos cada fator a 0 e resolvemos

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

x = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 0

⇥⇥Vamos resolver em

ℝ

2 - x = 0

⇥⇥Solução obtida:

x = 2

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (60 x \cdot (2 - x))

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x \cdot (2 - x))

60 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥

60 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥Para

u1

x

v2

2 - x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.4) Vamos derivar

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.5) Vamos derivar

v2

\frac{d}{d x} (2 - x)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

⇥

-1

⇥1.6) Avaliamos a derivada obtida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot (2 - x) + x \cdot (-1)

⇥ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

x \cdot (-1)

- x

⇥

2 - x - x

⇥ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- x - x

-2 x

⇥

2 - 2 x

⇥1.7) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

2 - 2 x

⇥

60 \cdot (2 - 2 x)

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

60 \cdot (2 - 2 x)

120 - 120 x

⇥

120 - 120 x

⇥Colocamos em evidência

120

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

120 - 120 x

120 \cdot (1 - x)

⇥Fator encontrado:

1 - x

⇥A segunda derivada é

120 \cdot (1 - x)

2) Em

x = 0

, calculamos

f^{''} (0) = 120 \cdot (1 + 0) = 120

x = 0

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

60 \cdot 0^{2} - 20 \cdot 0^{3}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

60 \cdot 0

0

-20 \cdot 0

0

⇥

0 + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 0

0

⇥

0

A ordenada é f(

0

) =

0

3) Em

x = 2

, calculamos

f^{''} (2) = 120 \cdot (1 - 2) = -120

x = 2

, a segunda derivada é negativa: é um máximo local estrito

⇥

60 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2^{3}

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

⇥

60 \cdot 4 - 20 \cdot 8

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

60 \cdot 4

240

20 \cdot 8

160

⇥

240 - 160

⇥ⓘ Partimos de

240

e recuamos

160

na reta numérica:

240 - 160

80

⇥

80

A ordenada é f(

2

) =

80

Este polinómio de grau ímpar não é limitado superior nem inferiormente em ℝ: não tem nenhum extremo global

▶Extremos locais estritos:

{(0; 0); (2; 80)}