extremos de f(t)=t^3-12t+2 — solução passo a passo

1) Vamos procurar os extremos locais estritos de

t^{3} - 12 t + 2

em ℝ: a derivada deve anular-se e mudar de sinal

⇥1.1) Vamos derivar:

\frac{d}{d t} (t^{3} - 12 t + 2)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d t} (t^{3} - 12 t + 2)

\frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 12 t) + 0

⇥

\frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 12 t) + 0

⇥ⓘ A derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} (t^{3})

3 t^{2}

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d t} (- 12 t) + 0

\frac{d}{d t} (- 12 t)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d t} (- 12 t)

-12

⇥

3 t^{2} - 12

⇥A primeira derivada é

3 t^{2} - 12

⇥1.2) Vamos resolver em

ℝ

3 t^{2} - 12 = 0

⇥ⓘ Dividimos ambos os membros por

3

⇥

t^{2} = 4

⇥Os dois números cujo quadrado vale

4

são

-2

2

⇥Soluções obtidas:

t = {-2; 2}

⇥1.3) Vamos derivar:

\frac{d}{d t} (3 t^{2} - 12)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d t} (3 t^{2} - 12)

\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + 0

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + 0

\frac{d}{d t} (3 t^{2})

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d t} (3 t^{2})

3 \cdot \frac{d}{d t} (t^{2})

■A derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} (t^{2})

2 t

⇥

3 \cdot 2 t

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

6 t

⇥A segunda derivada é

6 t

2) Em

t = -2

, calculamos

f^{''} (-2) = 6 \cdot (-2) = -12

t = -2

, a segunda derivada é negativa: é um máximo local estrito

⇥

{(-2)}^{3} - 12 \cdot (-2) + 2

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-12 \cdot (-2)

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

- 8 + 24 + 2

⇥ⓘ Partimos de

-8

e avançamos

24

na reta numérica, passando para valores acima de zero:

- 8 + 24

16

⇥

16 + 2

⇥ⓘ Partimos de

16

e avançamos

2

na reta numérica:

16 + 2

18

⇥

18

A ordenada é f(

-2

) =

18

3) Em

t = 2

, calculamos

f^{''} (2) = 6 \cdot 2 = 12

t = 2

, a segunda derivada é positiva: é um mínimo local estrito

⇥

2^{3} - 12 \cdot 2 + 2

⇥ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

8 - 24 + 2

⇥ⓘ Partimos de

8

e recuamos

24

na reta numérica, passando para valores abaixo de zero:

8 - 24

-16

⇥

- 16 + 2

⇥ⓘ Partimos de

-16

e avançamos

2

na reta numérica, aproximando-nos do zero:

- 16 + 2

-14

⇥

-14

A ordenada é f(

2

) =

-14

Este polinómio de grau ímpar não é limitado superior nem inferiormente em ℝ: não tem nenhum extremo global

▶Extremos locais estritos:

{(-2; 18); (2; -14)}